Question

（2011•宝坻区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若e=

3

2

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，若

AF2

•

BF2

=0，且

2

2

＜e≤

3

2

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先根据椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论．
（II）因为直线和椭圆有两个不同的交点，所以两方程联立化成关于x的一元二次方程，可运用设而不求的办法把设出的A，B点的坐标代入向量的数量积公式，求出k关于a的函数表达式，进一步整理后求出函数的值域即可．

解答：解：（I）由题得：c=3，

c

a

=

3

2

⇒a=2

3

，b=

3

．
故椭圆方程为

x2

12

+

y2

3

=1；
（II）由

x2 12 + y2 3 =1 y=kx

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=0，x₁x₂=

-a2b2

b2+a2k2

，又

AF2

=（3-x₁，-y₁），

BF2

=（3-x₂，-y₂），∴

AF2

•

BF2

=（1+k²）x₁x₂+9=0，即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0，
∴k²=

a4-18a2+81

-a4+18a2

=-1-

81

-a4+18a2

，
∵

2

2

＜e≤

3

2

，
∴2

3

≤a≤3

2

，12≤a²≤18，
∴k²≥

1

8

，即 k∈（-∞，-

2

4

]∪[

2

4

，+∞）．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力，一般涉及直线与圆锥曲线的交点问题，常利用方程思想．此题是中档题．