Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是________．

Answer 1

（2，3]
分析：由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得 （b+c）²-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．
解答：△ABC中，由余弦定理可得 2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，
∴+c=2b，化简可得 （b+c）²-1=3bc．
∵bc≤，∴（b+c）²-1≤3×，解得 b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
故a+b+c≤3．
再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故答案为 （2，3]．
点评：本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．