Question

设函数f（x）=e^2x-2ax-2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（2x-k）f^′（x）+4x+2＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）分a≤0，a＞0两种情况解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0；
（2）当a=1、x＞0时，不等式等价于：k＜

2x+1

e2x-1

+2x(x＞0)，令g（x）=

2x+1

e2x-1

+2x，问题等价于k＜g（x）_min，利用导数即可求得，注意k为整数这一条件；

解答：解：（1）f′（x）=2e^2x-2a=2（e^2x-a），
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数；
若a＞0，由f′（x）=0得x=

1

2

lna，
则当x∈（-∞，

1

2

lna）时，f′（x）＜0，x∈（

1

2

lna，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，

1

2

lna）上为减函数，在（

1

2

lna，+∞）上为增函数；
（2）由于a=1，所以，（2x-k）f^′′（x）+4x+2=（2x-k）（2e^2x-2）+4x+2，
故当x＞0时，不等式等价于：k＜

2x+1

e2x-1

+2x(x＞0)，
令g（x）=

2x+1

e2x-1

+2x，则g′（x）=

-4xe2x-2

(e2x-1)2

+2=

2e2x(e2x-2x-2)

(e2x-1)2

，
令h（x）=e^2x-2x-2，则h′（x）=2e^2x-2＞0，h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又h（

1

2

）＜0，h（1）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上有唯一零点，
故g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设此零点为α，α∈（

1

2

，1），
则x∈（0，α）时，g′（x）＜0，x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上有最小值g（α），由g′（α）=0得e^2α=2α+2，g（α）=2α+1∈（2，3），
由k＜g（α）得k的最大值为2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题，转化为函数最值是解决恒成立问题的常用方法，导数是解决函数问题的强有力的工具．