Question

（2013•青岛一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，离心率为

2

2

，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．
（Ⅰ）若

AB

•

BF

=-6，求△ABF外接圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-2）与椭圆N：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于两点G、H，且|

HG

|＜

2 5

3

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的焦距、离心率e=

c

a

及a²=b²+c²即可得到椭圆的标准方程；设A（x₀，y₀），利用向量的数量积及点A满足椭圆的方程即可得出点A的坐标，由点A，B，F的坐标即可得到此三角形的外接圆的方程．
（II）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），把直线GH的方程与椭圆方程联立得到判别式△满足的条件及其根与系数的关系，再利用向量的模的计算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，
∴椭圆C的方程为：

x2

6

+

y2

3

=1．
由此可得：B(0，

3

)，F(

3

，0)
设A（x₀，y₀），则

AB

=(-x0，

3

-y0)，

BF

=(

3

，-

3

)，
∵

AB

•

BF

=-6，∴-

3

x0-

3

(

3

-y0)=-6，即y0=x0-

3

由

x02 6 + y02 3 =1 y0=x0- 3

⇒

x0=0 y0=- 3

，或

x0= 4 3 3 y0= 3 3

即A(0，-

3

)，或A(

4 3

3

，

3

3

)．
①当A的坐标为(0，-

3

)时，|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圆是以O为圆心，

3

为半径的圆，即x²+y²=3．
②当A的坐标为(

4 3

3

，

3

3

)时，AF和BF的斜率分别为1和-1，
所以△ABF为直角三角形，其外接圆是以线段AB为直径的圆，圆心坐标为(

2 3

3

，

2 3

3

)，半径为

1

2

|AB|=

15

3

，
∴△ABF外接圆的方程为(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

综上可知：△ABF外接圆方程是x²+y²=3，或(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．
（Ⅱ）由题意可知直线GH的斜率存在．设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：k2＜

1

2

…（*）
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．
|

HG

|＜

2 5

3

，即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

．
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k2＞

1

4

，结合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

．
所以-

2

2

＜k＜-

1

2

或

1

2

＜k＜

2

2

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程、三角形的外接圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方程与椭圆方程联立得到判别式△满足的条件及其根与系数的关系、向量的数量积运算及其向量模的计算公式等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．