题目内容

使得函数f(x)=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
(a≤x≤b)的值域为[a，b]（a＜b）的实数对（a，b）有（　　）对．
分析：按照b≤2，a≥2，a＜2＜b三种情况讨论函数的最值，令其最小值为a，最大值为b，解出方程组即可得到答案．
解答：解：f（x）=
1
5
(x-2)2-
11
5
，
①当b≤2时，f（x）在[a，b]上递减，
则f（a）=b，f（b）=a，即
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
，解得
a=-2
b=1
或
a=1
b=-2
（舍）；
②当a≥2时，f（x）在[a，b]上递增，
则f（a）=a，f（b）=b，即
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
，解得a=
9±
109
2
，b=
9±
109
2
，又2≤a＜b，所以无解；
③当a＜2＜b时，f（2）=a，即a=-
11
5
，
而f（a）=f（-
11
5
）=
166
125
，f（b）=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
，
若f（a）＞f（b），则f（a）=
166
125
=b，与b＞2矛盾；
若f（a）＜f（b），则f（b）=b，即
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b，解得b=
9+
109
2
或
9-
109
2
（舍），
此时a=-
11
5
，b=
9+
109
2
，
综上，满足条件的实数对（a，b）有两个，
故选B．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值求解，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=(1+
1
n
)x（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x=6时，求(1+
1
n
)x的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明
f(2x)+f(2)
2
＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜
n
k-1
(1+
1
k
)＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．
若实数a∈（1，2），则使得函数f(x)=
1
2
x2-ax+(a-1)lnx单调递减的一个区间是（　　）
A、（1，+∞）
B、（0，a-1）
C、（0，1）
D、（a-1，1）
已知函数f(x)=1-
22x+t
（t是常实数）．
（1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2x+1-1图象的下方．
（2006•东城区一模）已知函数f(x)=|1-
1x
|， (x＞0)．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b）使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f（x）=x3是正函数，试求f（x）的所有等域区间；
（2）若g(x)=
x+2
+k是正函数，试求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数a，b（a＜b＜1）使得函数f(x)=|1-
1
x
|是[a，b]上的“正函数”？若存在，求出区间[a，b]，若不存在，说明理由．

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