Question

若不等式

x

+

y

≤k

2x+y

对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：解法一：将原式两边平方，并移向得出（2k²-1）x-2

xy

+（k²-1）y≥0对于x，y＞0恒成立．两边同除以y得（2k²-1）

x

y

-2

x y

+（k²-1）≥0，令t=

x y

＞0，构造得出f（t）=（2k²-1）t²-2t+（k²-1）≥0对一切t＞0恒成立．利用二次函数的性质求解．
解法二：先将k分离，再平方得出k²≥

( x + y )2

2x+y

=

x+2 xy +y

2x+y

，令t=

x y

＞0，，则k²≥

t2+2t+1

2t2+1

=

1

2

（1+

4t+1

2t2+1

）．只需求出

4t+1

2t2+1

的最大值即可，可以利用基本不等式或导数法求出．
解法三：由Cauchy不等式，（

x

+

y

）²≤（

1

2

+1）（2x+y）．即（

x

+

y

）≤

6

2

2x+y

对一切正实数x，y成立．分k＜

6

2

，k≥

6

2

两种情况讨论．

解答：解法一：显然k＞0．（

x

+

y

）²≤k²（2x+y）⇒（2k²-1）x-2

xy

+（k²-1）y≥0对于x，y＞0恒成立．两边同除以y得（2k²-1）

x

y

-2

x y

+（k²-1）≥0
令t=

x y

＞0，则得f（t）=（2k²-1）t²-2t+（k²-1）≥0对一切t＞0恒成立．
当2k²-1≤0时，不等式不能恒成立，故2k²-1＞0．
此时当t=

1

2k2-1

时，f（t）取得最小值

1

2k2-1

-

2

2k2-1

+k²-1=

2k4-3k2

2k2-1

=

k2(2k2-3)

2k2-1

．
当2k²-1＞0且2k²-3≥0，即k≥

6

2

时，不等式恒成立，且当x=4y＞0时等号成立．
∴k∈[

6

2

，+∞）．
解法二：显然k＞0，故k²≥

( x + y )2

2x+y

=

x+2 xy +y

2x+y

，令t=

x y

＞0，，则k²≥

t2+2t+1

2t2+1

=

1

2

（1+

4t+1

2t2+1

）．2t²+1
令u=4t+1＞1，则t=

u-1

4

，

4t+1

2t2+1

=

8u

u2-2u+9

只要求s（u）=

8u

u2-2u+9

的最大值．
s（u）=

8

u+ 9 u -2

≤

8

2 u• 9 u -2

=2，于是

1

2

（1+

4t+1

2t2+1

）≤

1

2

（1+2）=

3

2

．
∴k²≥

3

2

，即k≥

6

2

时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等号成立）．
又：令s（t）=

4t+1

2t2+1

，则s′（t）=

8t2+4-4t(4t+1)

(2t2+1)2

=

-8t2-4t+4

(2t2+1)2

，t＞0时有驻点t=

1

2

．且在0＜t＜

1

2

时，s′（t）＞0，在t＞

1

2

时，s′（t）＜0，即s（t）在t=

1

2

时取得最大值2，此时有k²≥

1

2

（1+s（

1

2

））=

3

2

．
解法三：由Cauchy不等式，（

x

+

y

）²≤（

1

2

+1）（2x+y）．
即（

x

+

y

）≤

6

2

2x+y

对一切正实数x，y成立．
当k＜

6

2

时，取x=

1

4

，y=1，有

x

+

y

=

3

2

，而k

2x+y

=k

6

2

＜

6

2

×

6

2

=

3

2

．即不等式不能恒成立．
而当k≥

6

2

时，由于对一切正实数x，y，都有

x

+

y

≤

6

2

2x+y

≤k

2x+y

，故不等式恒成立．
∴k∈[

6

2

，+∞）．

点评：本题是一道函数恒成立问题，本别采用了构造转化为含参数函数最值问题；分离参数后，利用基本不等式或导数法求分式函数最值问题．这两种思路和方法是常用的．另外本题还可以利用Cauchy不等式求解．