Question

（2012•韶关一模）已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（1）当a=

1

3

时，若不等式f′（x）＞-

1

3

对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少存在一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f（x）=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=

1

3

时，f′（x）=x²+2bx+b-

1

3

，依题意　f′（x）＞-

1

3

即x²+2bx+b＞0恒成立，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；
（2）因为f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），所以f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′（-

1

3

）=

b-2a

3

．再由a，b不同时为零，所以f′（-

1

3

）•f′（-1）＜0，故结论成立；
（3）将“关于x的方程f（x）=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与y=-

1

4

t的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax³-ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由f′（x）=3（x-

3

3

）（x+

3

3

），知f（x（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是増函数，在[-

3

3

，

3

3

]上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．

解答：解：（1）当a=

1

3

时，f′（x）=x²+2bx+b-

1

3

，…（1分）
依题意　f′（x）＞-

1

3

　
即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1　
所以b的取值范围是（0，1）…（4分）
（2）因为f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′（-

1

3

）=

b-2a

3

．
由于a，b不同时为零，所以f′（-

1

3

）•f′（-1）＜0，故结论成立．
（3）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因为f′（x）=3（x-

3

3

）（x+

3

3

）
所以f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是増函数，
在[-

3

3

，

3

3

]上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，①当-1＜t≤-

3

3

时，f（t）≥-

1

4

t≥0，即t³-t≥-

t

4

，解得-

3

2

≤t≤0或t≥-

3

2

；
②当-

3

3

＜t＜0时，f（t）＞-

1

4

t≥0，解得-

3

3

＜t＜0；
③当t=0时，显然不成立；
④当0＜t≤

3

3

时，f（t）≤-

1

4

t＜0，即t3-t≤-

t

4

，解得0＜t≤

3

3

；
⑤当t＞

3

3

时，f（t）＜-

1

4

t＜0，故

3

3

＜t＜

3

2

．
⑥当t＞1时，-

t

4

=f（

3

3

）∴t=

8 3

9

．
所以，所求t的取值范围是-

3

2

≤t＜0或0＜t＜

3

2

或t=

8 3

9

．

点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．