题目内容

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2 $数学公式$ sin²ωx+ $数学公式$ （ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为 $数学公式$ ．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）= $数学公式$ ，求sin（ $数学公式$ π-4a）的值．

解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx-2 $\text{[math]}$ sin²ωx+ $\text{[math]}$ =sin2ωx+ $\text{[math]}$ cos2ωx=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）
∵直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为 $\text{[math]}$ ，
∴函数的最小正周期为π
∴ $\text{[math]}$ =π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
∴- $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z
∴- $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）= $\text{[math]}$ ，∴sin（2a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴sin（ $\text{[math]}$ π-4a）=sin[ $\text{[math]}$ -2（2a+ $\text{[math]}$ ）]=-cos[2（2a+ $\text{[math]}$ ）]=2sin²（2a+ $\text{[math]}$ ）-1=- $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为 $\text{[math]}$ ，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；
（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）由f（a）= $\text{[math]}$ ，可得sin（2a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，根据sin（ $\text{[math]}$ π-4a）=sin[ $\text{[math]}$ -2（2a+ $\text{[math]}$ ）]=-cos[2（2a+ $\text{[math]}$ ）]=2sin²（2a+ $\text{[math]}$ ）-1，即可求得结论．
点评：本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键．