Question

如下图所示，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解析：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称． 　　依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x0，y0)，其中c＝｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高． 　　由定比分点坐标公式得x0＝＝，y0＝． 　　设双曲线的方程为－＝1，则离心率e＝． 　　由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝代入双曲线方程得 －＝1，　　　　　　　　　　　① 　　－＝1．　　② 　　由①式得　　＝－1．　　　　③ 　　将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－． 　　由题设≤λ≤，得≤1－≤． 　　解得≤e≤． 　　所以双曲线的离心率e的取值范围为［，］． 　　点评：本题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质以及推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．