Question

【题目】已知中心在原点的椭圆的两个焦点和椭圆的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知是椭圆上的任意一点，，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，时，，时，．

【解析】

试题分析：（1）由已知椭圆，求得相应的焦点坐标，得出所求椭圆的焦点坐标，设出椭圆的方程，根据椭圆的定义，求解的值，即求解椭圆的方程；（2）设，得到，且，设，即可利用函数的性质，求解的最小值．

试题解析：（1）由已知椭圆，相应的焦点分别为，则椭圆的焦点分别为，设椭圆的方程为，

∵，

∴，∴，

∴椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设，则，

，

令，∵，

∴时，；时，；

时，．综上所述：时， 时，；时，．．．．．．．．．．．．．．．6分