Question

已知函数f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx．
（1）请用cosx表示f（x）；
（2）当0≤x≤

π

2

时，f（x）的最小值是-2，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，即可用cosx表示f（x）；
（2）换元t=cosx，0≤x≤

π

2

则t∈[0，1]，问题转化为二次函数闭区间上的最小值问题，通过分类

a

2

＜ 0，0≤

a

2

≤1，

a

2

＞1，分别利用f（x）的最小值是-2，求实数a的值．

解答：解：（1）函数f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx=（a-1）²-2+cos²x-2acosx=2cos²x-2acosx+a²-2a-1．…（3分）
（2）令t=cosx，0≤x≤

π

2

则t∈[0，1]，y=2(t-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，t∈[0，1]，…（5分）
①当

a

2

＜ 0，即a＜0时，ymin=(a-1)2-2=-2，故a=1（舍）…．（7分）
②当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，ymin=

a2

2

-2a-1=-2．
解得a=2±

2

，取a=2-

2

…..…．…..（9分）
③当

a

2

＞1，即a＞2时，ymina2-4a+1=-2．
解得a=1（舍）或a=3…．（11分）
综上，当a=2-

2

或a=3…．…..（12分）

点评：本题考查换元法，分类讨论的数学思想，二次函数闭区间上的最值的应用，考查转化思想，计算能力．