题目内容

已知m＞1，直线l：x-my-
m2
2
=0，椭圆C：
x2
m2
+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
（Ⅰ）因为直线l：x-my-
m2
2
=0，经过F2（
m2-1
，0），
所以
m2-1
=
m2
2
，得m2=2，
又因为m＞1，所以m=
2
，
故直线l的方程为x-
2
y-1=0．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
x=my+
m2
2
x2
m2
+y2=1
，消去x得
2y2+my+
m2
4
-1=0
则由△=m2-8（
m2
4
-1）=-m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2=-
m
2
，y1y2=
m2
8
-
1
2
．
由于F1（-c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由
AG
=2
GO
，
BH
=2
H0
，可知G（
x1
3
，
y1
，3
），H（
x2
3
，
y2
3
）
|GH|2=
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9

设M是GH的中点，则M（
x1+x2
6
，
y1+y2
6
），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（
x1+x2
6
）2+（
y1+y2
6
）2]＜
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9
即x1x2+y1y2＜0
而x1x2+y1y2=（my1+
m2
2
）（my2+
m2
2
）+y1y2=（m2+1）（
m2
8
-
1
2
）
所以（
m2
8
-
1
2
）＜0，即m2＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．
练习册系列答案
相关题目
若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，则点P（m，n）与椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1的位置关系为（　　）
A．点P在椭圆C内B．点P在椭圆C上
C．点P在椭圆C外D．以上三种均有可能
已知p：方程
x2
k-4
+
y2
k-6
=1表示双曲线，q：过点M（2，1）的直线与椭圆
x2
5
+
y2
k
=1恒有公共点，若p∧q为真命题，求k的取值范围．
已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的，且M的中心和M的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x3-24
2
y-2
3
0-4
2
2
（Ⅰ）求M，N的标准方程；
（Ⅱ）已知定点A（1，
1
2
），过原点O作直线l交椭圆M于B，C两点，求△ABC面积的最大值和此时直线l的方程．
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为
2
4
，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
3
2
5
为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．
已知直线l1过A（0，1），与直线x=-2相交于点P（-2，y0），直线l2过B（0，-1）与x相交于Q（x0，0），x0、y0满足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直线l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B，F2为C的右焦点，求△ABF2面积最大时点F2到直线l的距离．
直线y=2x+1与椭圆
x2
4
+
y2
16
=1的位置关系是（　　）
A．相交B．相切C．相离D．不确定

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