Question

【题目】已知函数f（x）= ，关于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（a∈R）有四个相异的实数根，则a的取值范围是（ ）
A.（﹣1， ）
B.（1，+∞）
C.（ ，2）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：当x＞0时，f（x）= ，函数的导数f′（x）= = ， 当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则当x=1时 函数取得极小值f（1）=e，
当x＜0时，f（x）=﹣ ，函数的导数f′（x）=﹣ =﹣ ，此时f′（x）＞0恒成立，
此时函数为增函数，
作出函数f（x）的图象如图：
设t=f（x），则t＞e时，t=f（x）有3个根，
当t=e时，t=f（x）有2个根
当0＜t＜e时，t=f（x）有1个根，
当t≤0时，t=f（x）有0个根，
则f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四个相异的实数根，
等价为t2﹣2at+a﹣1=0（m∈R）有2个相异的实数根，
其中0＜t＜e，t＞e，
设h（t）=t2﹣2at+a﹣1，
则 ，即 ，即 ，
即a＞ ，
即实数a的取值范围是（ ，+∞），
故选：D