Question

已知函数f(x)=

x2+x+4 x (x＞0) - x2-x+4 x (x＜0)

，
（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）分两段分别证明f（x）=f（-x）即可证明函数为偶函数；
（II）设x₂＞x₁＞0，利用作差法讨论f（x₂）-f（x₁）的大小，即可证明函数在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，也可利用导数证明函数的单调性：先求函数的导函数f′（x），再在某区间内证明导函数值的正负，即可证明函数的单调性

解答：解：（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称．
当x＞0时，-x＜0，
则f(x)=

x2+x+4

x

，f(-x)=

(-x2)-(-x)+4

(-x)

=

x2+x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，
则f(x)=-

x2-x+4

x

，f(-x)=

(-x2)+(-x)+4

(-x)

=-

x2-x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，
设x₂＞x₁＞0，则f(x2)-f(x1)=

x2-x1

x1•x2

(x1•x2-4)
当x₂＞x₁≥2时，f（x₂）-f（x₁）＞0；当2≥x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数．
（另证：当x＞0，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，f′(x)=1-

4

x2

；
∵0＜x≤2⇒0＜x2≤4?

4

x2

≥1?1-

4

x2

≤0
x≥2?x2≥4?0＜

4

x2

≤1?1-

4

x2

≥0
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了分段函数奇偶性和单调性的判断方法，利用函数单调性的定义证明函数在区间上的单调性的方法，作差法比较大小的变形技巧，导数在函数单调性中的应用