题目内容

已知函数f(x)=
1
4
x4+
1
3
ax3-a2x2+a4(a＞0)
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=1恰有两个交点，求a的取值范围．
分析：（1）对函数f（x）求导，根据导数大于0时原函数单调增，导数小于0时原函数单调减可得到答案．
（2）求出函数的极值点，根据图象可得答案．
解答：解：（1）因为f'（x）=x3+ax2-2a2x=x（x+2a）（x-a）
令f'（x）=0得x1=-2a，x2=0，x3=a
由a＞0时，f'（x）在f'（x）=0根的左右的符号如下表所示
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所以f（x）的递增区间为（-2a，0）与（a，+∞）f（x）的递减区间为（-∞，-2a）与（0，a）
（2）由（1）得到f(x)极小值=f(-2a)=-
5
3
a4，f(x)极小值=f(a)=
7
12
a4
f（x）极大值=f（0）=a4
要使f（x）的图象与直线y=1恰有两个交点，如图示
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故只要-
5
3
a4＜1＜
7
12
a4或a4＜1，
即a＞
4
12
7
或0＜a＜1．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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