题目内容

“对任意的正整数n，不等式nlga＜（n+1）lgaa（a＞0）都成立”的一个充分不必要条件是（　　）
A．0＜a＜1B．0＜a＜
1
2
C．0＜a＜2D．0＜a＜
1
2
或a＞1
原不等式等价于a（n+1）lga-nlga＞0，
当a＞1时lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，
当0＜a＜1时lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，
只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），
由
n
n+1
=1-
1
n+1
，知
n
n+1
最小值为
1
2
，
所以0＜a＜
1
2
，
所以0＜a＜
1
2
或a＞1是原不等式成立的充要条件
0＜a＜
1
2
是原不等式成立的充分不必要条件．
故选B．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．
（1）设bn=
an
2n-1
（n∈N*），证明：数列{bn}是等差数列；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
的值；
（3）设cn=2bn-1，数列{cn}的前n项和为Tn，dn=
Tn
4
a
2
n
-Tn
，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d1+d2+d3+…+dn≥log8（2m+t）成立？请说明理由．
设函数f（x）=（2-a）lnx+
1
x
+2ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=2时，对任意的正整数n，在区间[
1
2
，6+n+
1
n
]上总有m+4个数使得f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（am）＜f（am+1）+f（am+2）+f（am+3）+f（am+4）成立，试问：正整数m是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
3
3
x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，以（λn，0）表示Cn的圆心，已知{rn}为递增数列．
（1）证明{rn}为等比数列（提示：
rn
λn
=sinθ，其中θ为直线y=
3
3
x的倾斜角）；
（2）设r1=1，求数列{
n
rn
}的前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
9
4
-
an
rn
成立，求实数a的取值范围．
（2009•河西区二模）已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=Sn，其中Sn是首项为1，公比为
89
的等比数列的前n项和．
（1）求an的表达式；
（2）若cn=-anbn，试问数列{cn}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有cn≤ck成立？并证明你的结论．
已知数列{an}对任意的正整数n都有an-2an+1=0，a1=2，数列{bn}满足对任意正整数n，bn是an和an+1的等差中项，则数列{bn}的前10项和为
3069
1024
3069
1024
．

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