Question

已知f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β），其中α，β为参数，且0≤α＜β≤π．若f（θ）是一个与θ无关的定值，试确定其中的参数α，β的值．

Answer 1

分析：由倍角公式、两角和的余弦公式化简f（θ），并把含θ的项分离出来，再由条件列出方程组，由平方关系求出
cos（2α-2β）的值，再由角的范围求出α-β的值，再由“sin2α+sin2β=0”确定α和β关系，结合求出的α-β的值，求出α和β的值，再代入方程组验证答案．

解答：解：由题意得，f（θ）=

1-cos2θ

2

+

1-cos(2θ+2α)

2

+

1-cos(2θ+2β)

2

=

3

2

-

1

2

[cos2θ+cos（2θ+2α）+cos（2θ+2β）]
=

3

2

-

1

2

（cos2θ+cos2θcos2α-sin2θsin2α+cos2θcos2β-sin2θsin2β）
=

3

2

-

1

2

[cos2θ（1+cos2α+cos2β）-sin2θ（sin2α+sin2β）]
∵f（θ）是一个与θ无关的定值，
∴

1+cos2α+cos2β=0 sin2α+sin2β=0

，即

cos2α+cos2β=-1 sin2α+sin2β=0

，
两式平方相加得，2+2（cos2αcos2β+sin2αsin2β）=1
得cos（2α-2β）=-

1

2

，
∵0≤α＜β≤π，∴-2π≤2α-2β＜0，
则2α-2β=-

2π

3

或-

4π

3

，即α-β=-

π

3

或-

2π

3

，①
由sin2α+sin2β=0得，sin2α=-sin2β，
∵0≤α＜β≤π，∴2α=2π-2β或2α=π-（2π-2β），
即α+β=π或α-β=-

π

2

     ②
若α-β=-

π

3

时，只能满足②α+β=π，解得α=

π

3

，β=

2π

3

，
若α-β=-

2π

3

时，只能满足②α+β=π，解得α=

π

6

，β=

5π

6

．
代入检验，α=

π

6

和β=

5π

6

不满足1+cos2α+cos2β=0，故舍去，
综上得，α=

π

3

，β=

2π

3

．

点评：本题考查了倍角公式、两角和的余弦公式，诱导公式的应用，以及找定值的等价条件问题，综合性强，难度较大，容易出错：易忘验证方程组．