题目内容

设数列{an}的前n项的和Sn=an-×2n+1+,n=1，2，3,….

（1）求首项a1与通项an；

（2）设Tn=2nSn，n=1,2,3,…，证明<.

(1)解析：由Sn=an-×2n+1+,n=1,2,3,…,             ①

得a1=S1=a1-×4+.

所以a1=2.

再由①有Sn-1=an-1-×2n+,n=2,3,…,                     ②

将①和②相减得an=Sn-Sn-1=(an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3,….

整理,得an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,….

因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,3,….

因而an=4n-2n,n=1,2,3,….

(2)证明:将an=4n-2n代入①得

Sn=×(4n-2n)-×2n+1+

=×(2n+1-1)(2n+1-2)

=×(2n+1-1)(2n-1).

Tn=×=×().

所以,=


练习册系列答案
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3
2
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（3）设bn=(2log
3
2
an+1)•an，求数列bn的前n项的和Tn．
设数列{an}的前n项和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
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（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．
不等式组
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面区域为Dn，若Dn内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为an（n∈N*）
（1）写出an+1与an的关系（只需给出结果，不需要过程），
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列an的前n项和为Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若对一切的正整数n，总有Tn≤m成立，求m的范围．
（2013•郑州一模）设数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则
S4
a3
的值为（　　）

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