Question

（2013•和平区一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=p（S_n-a_n）+

1

2

（p为大于0的常数），且a₁是6a₃与a₂的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若a_n•b_n=2n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）由（I）得bn=

2n+1

an

=(2n+1)•2n，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．

解答：解：（I）当n=1时，a1=S1=p(S1-a1)+

1

2

，得a1=

1

2

．
当n≥2时，Sn=p(Sn-an)+

1

2

，
Sn-1=p(Sn-1-an-1)+

1

2

，
两式相减得a_n=pa_n-1，即

an

an-1

=p(p＞0)．
故{a_n}是首项为

1

2

，公比为p的等比数列，
∴an=

1

2

•pn-1．
由题意可得：2a₁=6a₃+a₂，2×

1

2

=6×

1

2

p2+

1

2

p，
化为6p²+p-2=0．
解得p=

1

2

或-

2

3

（舍去）．
∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（II）由（I）得bn=

2n+1

an

=(2n+1)•2n，
则Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n，
2Tn=3×22+5×23+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=3×2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）×2ⁿ⁺¹
=6+2×

22-2n+1

1-2

-(2n+1)×2n+1
=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴Tn=2+(2n-1)×2n+1．

点评：熟练掌握：当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．