题目内容

已知二次函数f（x）=x2+x，当x∈[n，n+1]（n∈N*）时f（x）的所有整数值的个数为g（n）．若bn=
g(n)2n
，且Tn=b1+b2+…+bn，而Tn＜l（l∈Z），则l的最小值为
7
7
．
分析：根据题意得g（n）=f（n+1）-f（n）+1，可求g（n），利用错位相减法可求Tn=b1+b2+…+bn，然后由Tn＜l（l∈Z），可求l的最小值．
解答：解：∵f（x）=x2+x
∴g（n）=f（n+1）-f（n）+1=2n+3
bn=
g(n)
2n
=
2n+3
2n

∵Tn=b1+b2+…+bn，
∴Tn=
5
2
+
7
22
+…+
2n+3
2n

1
2
Tn=
5
22
+
7
23
+…+
2n+1
2n
+
2n+3
2n+1

∴
1
2
Tn=
5
2
+2(
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)-
2n+3
2n+1

=
5
2
+2×
1
4
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
2n+3
2n+1
=
7
2
-
1
2n-1
-
2n+3
2n+1

∴Tn=7-
2n+7
2n
＜7
而Tn＜l
∴l≥7即l的最小值为7
故答案为：7
点评：本题考查二次函数的性质与数列求和的结合，着重考查数列中分类讨论与转化的思想，注重错位相减法的考查，属于难题．
练习册系列答案
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．
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