题目内容
【题目】已知长度为
的线段
的两个端点
分别在
轴和
轴上运动，动点
满足
，设动点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）过点
，且斜率不为零的直线
与曲线交于两点
，在轴上是否存在定点
，使得直线
与
的斜率之积为常数？若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在两个定点
，
，使得直线
与
的斜率之积为常数，当定点为时，常数为
，当定点为时，常数为
【解析】
（1）设
，
，
，利用向量关系
坐标化，可得曲线
的方程；
（2）由题意设直线
的方程为
，
，
，假设存在定点
，使得直线与的斜率之积为常数，将
表示成关于
的函数，利用恒成立问题，可得定点坐标.
（1）设，，，
由于，所以
，
即
，所以
.又因为
，所以
，
从而
，即曲线的方程为.
（2）由题意设直线的方程为，，，
由
得
，所以
，
故
，
.
假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则
.
当
，且
时，
为常数，解得
.
显然当
时，常数为；当
时，常数为.
所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为，当定点为时，常数为.
【题目】杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为
，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为
？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知n，r为正整数，且
.求证：任何四个相邻的组合数
，
，
，
不能构成等差数列.
