Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右准线是x=1，倾斜角为α=

π

4

的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M(-

1

2

，

1

4

)
（I）求椭圆的方程；
（II）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2=

3

4

的点，若直线OP、OQ的斜率分别为k_OP，k_OQ，求证：|k_OP•k_OQ|是定值．

Answer 1

分析：（I）由于直线AB的倾斜角为

π

4

且过点M(-

1

2

，

1

4

)，可得直线的方程为y=x+

3

4

．代入椭圆方程，整理得(b2+a2)x2+

3

2

a2x+

9a2

16

-a2b2=0，由AB的中点为M(-

1

2

，

1

4

)可得a²=2b²．结合

a2

c

=1可求a，b，c，进而可求椭圆方程
（II）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在椭圆2x²+4y²=1上，由|OP|2+|OQ|2=

3

4

得

x

2 3

+

y

2 3

+

x

2 4

+

y

2 4

=

3

4

，代入可求

解答：解：（I）由于直线AB的倾斜角为

π

4

且过点M(-

1

2

，

1

4

)，
所以直线的方程为y=x+

3

4

．
代入椭圆方程，整理得(b2+a2)x2+

3

2

a2x+

9a2

16

-a2b2=0，

x1+x2

2

=

1

2

×(-

3

2

)×

a2

b2+a2

=-

1

2

，
即a²=2b²．
又

a2

c

=1，联立a²=b²+c²，
求得a2=

1

2

，b2=

1

4

．
所以椭圆方程为2x²+4y²=1．…（6分）
（II）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在椭圆2x²+4y²=1上，
由|OP|2+|OQ|2=

3

4

得

x

2 3

+

y

2 3

+

x

2 4

+

y

2 4

=

1 4 (1-2 x 2 3 ) 1 4 (1-2 x 2 4 ) x 2 3 x 2 4

=

1

4

1-2( x 2 3 + x 2 4 )+4 x 2 3 x 2 4 x 2 3 x 2 4

=

1

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了利用直线与圆锥曲线的位置关系的性质求解椭圆的方程，解题中要具备较强的计算能力与逻辑推理能力，主要考查了考试的计算能力．