Question

若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，设P={x|-1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜-1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（　　）

A．t≤0

B．t≥0

C．t≤-3

D．t≥-3

Answer 1

分析：利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=-1，求出集合P，Q的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．

解答：解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，
∴不等式-1＜f（x+t）＜3，
等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），
即3＞x+t＞0，解得-t＜x＜3-t，
即P={x|-t＜x＜3-t}．
由f（x）＜-1得f（x）＜f（3），
即x＞3，
∴Q={x|x＞3}，
∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，
∴-t≥3，即t≤-3．
故选：C．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．