题目内容

（文）f（x）=
-2x+1，x≤1
-1，1＜x≤3
2x-7 ，x＞3
，则
lim
△x→0
f(4+△x)-f(4-△x)
△x
=
4
4
．
分析：由题意可得，所求的式子等于2f′（4），再由函数f（x）的解析式求得它的结果．
解答：解：由题意可得，
lim
△x→0
f(4+△x)-f(4-△x)
△x
=2•
lim
△x→0
 
f(4+△x)-f(4-△x)
2△x
=2f′（4），
再由f（x）=
-2x+1，x≤1
-1，1＜x≤3
2x-7 ，x＞3
 可得，
当x＞3时，由于f（x）=2x-7，故f′（x）=2，f′（4）=2，故2f′（4）=4，
故答案为 4．
点评：本题主要考查求函数的极限，函数在某一点的导数的定义，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（文）已知函数f(x)=2x-
12|x|
．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）（理）对于给定的非零实数a，求最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立；
（Ⅲ）（理）在（Ⅱ）的条件下，当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
（Ⅱ）（文）求最小的实数b，使得x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立；
（Ⅲ）（文）若存在实数a，使得x∈[b，1]时，-2≤f（x）≤3b都成立，求实数b的取值范围．
已知二次函数f（x）=x2+x的定义域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域为A．函数 g(x)=x3-3tx+
1
2
t的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求f （x） 的定义域D和值域 A；
（2）（理） 试用函数单调性的定义解决下列问题：若存在实数x0∈（0，1），使得函数 g(x)=x3-3tx+
1
2
t在[0，x0]上单调递减，在[x0，1]上单调递增，求实数t的取值范围并用t表示x0．
（3）（理） 是否存在实数t，使得A⊆B成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（4）（文） 是否存在负实数t，使得A⊆B成立？若存在，求负实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（5）（文） 若函数g(x)=x3-3tx+
1
2
t在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．
已知函数：f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a)．
（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+
1
2
，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）（理）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）设函数g（x）=x2+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．
（2009•绵阳二诊）已知f（x）=x3+mx2-x+2（m∈R）．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为（-
13
，1），求函数f（x）的解析式；
（2）（理）若f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求实数m的取值范围．
（文）若f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2（1-m）恒成立，求实数m的取值范围．

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