Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）已知M在线段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． ………………1分
又因为PA⊥平面ABCD，  平面ABCD， 所以PA⊥BD， …3分
又因为，所以BD⊥平面PAC． ………………4分
（Ⅱ）
（Ⅲ）

(I)由条件易知AC⊥BD,然后再证PA⊥BD即可.
（II）本小题关键是找或做出PB与平面PAD所成的角，过B作，连结PE，
因为PA⊥平面ABCD，  平面ABCD， 所以PA⊥BE，又因为，，所以BE⊥平面PAD．所以是直线与平面所成角．过B作，连结PE，
因为PA⊥平面ABCD，  平面ABCD， 所以PA⊥BE
又因为，，所以BE⊥平面PAD． ………………５分
所以是直线与平面所成角． ………………６分
在△BEP中， ，， ………………７分
所以．
所以是直线与平面所成角的正切值． ………………８分
（Ⅲ）设F是ＭＣ的中点，连结ＢＦ，ＤＦ，
因为ＢＭ＝ＢＣ，△ＢＭＣ为等腰△，
所以ＢＦ⊥ＭＣ 同理ＤＦ⊥ＭＣ                ………………9分
所以为二面角的平面角．………１０分
在△中，………………１１分
由余弦定理得．
所以二面角的余弦值为．………………１2分