Question

设奇函数f（x）的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，f（2）=0．求不等式（x-1）•f（x-1）＜0的解集．

Answer 1

分析：先将x-1看作整体．根据函数f（x）在x∈[0，5]的图象再结合奇函数f（x）的性质，可分析出当x∈[-，5，0）的函数值f（x）的正负情况，然后利用分类讨论的方法即可求解不等式（x-1）•f（x-1）＜0．

解答：解：根据当x∈[0，5]时f（x）的图象可知当0＜x＜2时f（x）＞0，当2＜x≤5时f（x）＜0，
且f（x）为奇函数，∴当-2＜x＜0时f（x）＜0，当-5≤x＜-2时f（x）＞0．
∵（x-1）•f（x-1）＜0
∴

x-1＞0 f(x-1)＜0

或

x-1＜0 f(x-1)＞0

即

x-1＞0 2＜x-1≤5

或

x-1＜0 -5≤x-1＜-2

解得3＜x≤6或-4＜x≤-1，
∴原不等式的解集为（3，6]∪[-4，-1）．

点评：本题主要考查了利用函数的图象和函数的性质（奇偶性）求解抽象不等式xf（x）＜0．解题的关键是根据函数的奇偶性分析出x∈[-5，0）的函数值f（x）的正负情况．本题也可利用奇函数图象关于原点对称作出y轴左侧的图象，根据图象写出解集．