Question

已知集合A＝{x|x²－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)＜0}．

(1)若AB，求a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；

(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．

Answer 1

(1)≤a≤2　(2)a≤或a≥4　(3)3

解析　∵A＝{x|x²－6x＋8＜0}，

∴A＝{x|2＜x＜4}．

(1)当a＞0时，

B＝{x|a＜x＜3a}，应满足⇒≤a≤2.

当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，应满足⇒a∈∅.

∴≤a≤2时，AB.

(2)要满足A∩B＝∅，

当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，a≥4或3a≤2，

∴0＜a≤或a≥4.

当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥.

∴a＜0时成立．验证知当a＝0时也成立．

综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝∅.

(3)要满足A∩B＝{x|3＜x＜4}，显然a＞0且a＝3时成立．

∵此时B＝{x|3＜x＜9}，而A∩B＝{x|3＜x＜4}，

故所求a的值为3.