Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=-n²+24n(n∈N^*).

(1)求数列的通项a_n;

(2)当n为何值时,S_n达到最大?最大值是多少?

Answer 1

解:(1)当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=-n²+24n-［-(n-1)²+24(n-1)］=-n²+(n-1)²+24n-24(n-1)

=-2n+1+24=-2n+25.

当n=1时,a₁=S₁=-1+24=23=-2·1+25.

这说明a₁=23也适合公式a_n=-2n+25,故该数列的通项公式为a_n=-2n+25(n∈N^*).

(2)由(1)知a_n=-2n+25,由于-2<0,∴数列{a_n}是递减的.但它的前面若干项均大于零,要想使S_n达到最大,需先求使a_n≥0的n.

由-2n+25≥0n≤.又∵n∈N^*,∴n=1,2,…,12,

即{a_n}的前12项均大于零.∴当n=12时,S₁₂达到最大.S₁₂=-12²+24×12=12(24-12)=12²=144