Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆相切的直线交抛物线于不同的两点若抛物线上一点满足，求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) ； (Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ) 由题意设抛物线的标准方程，把已知点代入解得抛物线的标准方程；(Ⅱ)先由直线与圆相切得圆心到直线的距离为圆的半径，可得与的关系式，在把直线方程与抛物线方程联立方程组整理为关于的方程，利用判别式大于0求得的取值范围，并设出交点的坐标，由根与系数的关系式和已知向量的关系式，把点的坐标表示出来，再代入抛物线方程，把用表示出来，从而可得的取值范围.
试题解析：(Ⅰ) 设抛物线方程为， 由已知得：， 所以，
所以抛物线的标准方程为  .      4分
(Ⅱ) 因为直线与圆相切， 所以  ，     6分
把直线方程代入抛物线方程并整理得：，   7分
由， 得 或，               8分
设， 则，
，
由，
得 ，                               11分
因为点在抛物线上，所以，
，                 13分
因为或，所以  或 ，
所以 的取值范围为  .               15分