题目内容

设函数f（x）=
1
3
ax3+bx2+cx（a＜b＜c），其图象在点A（1，f（1））处，B（m，f（m））处的切线斜率分别为0，-a．
（1）若a+c=2，求b值；
（2）求
b
a
的取值范围．
分析：（1）函数f（x）=
1
3
ax3+bx2+cx（a＜b＜c），其图象在点A（1，f（1））处，切线斜率为0，利用导数可求出b的值．
（2）函数f（x）=
1
3
ax3+bx2+cx（a＜b＜c），其图象在点B（m，f（m））处的切线斜率为-a，求出函数的导数，根据a＜b＜c，推出a，c的大小关系，然后求出
b
a
的取值范围．
解答：解：（1）f′(x)=ax2+2bx+c∵f′(1)=0∴a+2b+c=0∴b=-
a+c
2
=-1
（2）f'（m）=am2+2bm+c=-a
∵a＜b＜c
∴4a＜a+2b+c＜4c
∴a＜0c＞0
将c=-a-2b代入a＜b＜c得-3＜
b
a
＜1
将c=-a-2b代入am2+2bm+c=-a得am2+2bm-2b=0△≥0?
b
a
≤-2或
b
a
≥0
∴0≤
b
a
＜1
点评：本题考查直线的斜率，导数的运算，考查计算能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•江西模拟）设函数f（x）=
(
1
3
)x-8(x＜0)
x2+x-1(x≥0)
，若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（　　）
设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x-1，则（　　）
已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f(
x
3
)=
1
2
f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．则f(
1
3
)+f(
1
8
)=（　　）
（2012•成都一模）设函数f（x）=ax3+bx2+cx，记f（x）的导函数是f′（x）．
（I）当a=-1，b=c=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）当c=-a2（a＞0）时，若函数f（x）的两个极值点x1、x2满足|x1-x2|=2，求b的取值范围；
（III）若a=-
1
3
令h（x）=|f′（x）|，记h（x）在[-1，1]上的最大值为H，当b≥0，c∈R时，证明：H≥
1
2
．
设函数f（x）=
1
3
 x3+bx2+cx（c＜b＜1）在x=1处取到一个极小值，且存在实数m，使f′（m）=-1，
①证明：-3＜c≤-1；
②判断f′（m-4）的正负并加以证明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
-2c
3
，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

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