Question

如图1-1-2，圆O₁与圆O₂的半径都是1，|O₁O₂|=4，过动点P分别作圆O₁、圆O₂的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

图1-1-2

Answer 1

思路分析：本题利用数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式PM=PN，即(PM)²=2(PN)²，结合图形由勾股定理转化为PO₁²-1=2(PO₂²-1)，设P(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.

图1-1-3

解：如图1-1-3，以直线O₁O₂为x轴，线段O₁O₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O₁(-2,0),O₂(2,0).

设P(x,y)，则PM²=PO₁²-MO₁²=(x+2)²+y²-1.

同理,PN²=(x-2)²+y²-1.

∵PM=PN，∴(x+2)²+y²-1=2［(x-2)²+y²-1］，

即x²-12x+y²+3=0，即(x-6)²+y²=33,这就是动点P的轨迹方程.

    深化升华 在求轨迹方程时,首先能够建立一个适当的坐标系.同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式.选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式.