Question

已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

2

acosB=ccosB+bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设向量

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(12，-5)，求当

m

•

n

取最大值时，tanC的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的三角函数的关系式，利用正弦定理和两角和的正弦公式，和诱导公式，做出角B的余弦值，根据角的范围求出角的大小．
（2）先表达出两个向量的数量积，整理出关于cosA的二次函数形式，看出函数的最大值，根据同角的三角函数之间的关系得到结果．

解答：解：（1）由题意

2

sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB…（1分）
所以

2

sinAcosB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA…（3分）
∵0＜A＜π，∴sinA≠0∴cosB=

2

2

…（4分）
∵0＜B＜π，∴B=

π

4

…（5分）
（2）∵

m

•

n

=12cosA-5cos2A（3）…（6分）
∴

m

•

n

=-10cos2A+12cosA+5=-10(cosA-

3

5

)2+

43

5

…（7分）
所以当cosA=

3

5

时，

m

•

n

取最大值．…（8分）
此时sinA=

4

5

(0＜A＜π)∴tanA=

4

3

…（9分）
∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=7…（10分）

点评：本题考查正弦定理的应用，考查三角函数的化简求值，考查向量数量积的运算，本题解题的关键是整理出关于角A的余弦的二次函数求出最值，本题是一个中档题目．