题目内容
已知a＞0，b＞0，c＞0且a，b，c不全相等．求证：| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
分析：本小题可用分析法、综合法或作差比较法证明，注意条件a，b，c不全相等的使用．
1、分析法就是证明，使不等式成立的充分条件成立，要证
+
+
＞a+b+c，
只要证
＞a+b+c，只要证（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c），
左边使用均值不等式，可证出大于右边．
2、综合法，不等式左边变形后直接使用均值不等式．
3、作差比较法，作差--变形--判断符号．
1、分析法就是证明，使不等式成立的充分条件成立，要证
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
只要证
| (bc)2+(ac)2+(ab)2 |
| abc |
左边使用均值不等式，可证出大于右边．
2、综合法，不等式左边变形后直接使用均值不等式．
3、作差比较法，作差--变形--判断符号．
解答：证明：方法一：（分析法）要证
+
+
＞a+b+c，
只要证
＞a+b+c．
∵a，b，c＞0，
只要证（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）2+（ac）2≥2abc2，
（ac）2+（ab）2≥2a2bc，（bc）2+（ab）2≥2ab2c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：
2[（bc）2+（ac）2+（ab）2]＞2abc2+2a2bc+2ab2c，
即（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c）成立．
∴
+
+
＞a+b+c成立．
方法二：（综合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴
+
≥2
=2c，
+
≥2
=2b，
+
≥2
=2a，
又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等号，
三式相加得
+
+
＞a+b+c．
方法三：（作差比较法）
+
+
-a-b-c
=
=
•
＞0（a，b，c不全相等），
即
+
+
-a-b-c＞0，
∴
+
+
＞a+b+c．
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
只要证
| (bc)2+(ac)2+(ab)2 |
| abc |
∵a，b，c＞0，
只要证（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）2+（ac）2≥2abc2，
（ac）2+（ab）2≥2a2bc，（bc）2+（ab）2≥2ab2c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：
2[（bc）2+（ac）2+（ab）2]＞2abc2+2a2bc+2ab2c，
即（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c）成立．
∴
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
方法二：（综合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴
| bc |
| a |
| ac |
| b |
|
| bc |
| a |
| ab |
| c |
|
| ac |
| b |
| ab |
| c |
|
又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等号，
三式相加得
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
方法三：（作差比较法）
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
=
| b2c2+a2c2+a2b2-a2bc-b2ac-c2ab |
| abc |
=
| 1 |
| 2 |
| (bc-ac)2+(ab-bc)2+(ac-ab)2 |
| abc |
即
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
∴
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
点评：通过用分析法、综合法或作差比较法证明不等式，体会几种方法间的区别与联系．
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