Question

设数列{a_n}的前n项积为T_n，T_n=1-a_n；数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=1-b_n，
(Ⅰ)设，
①证明数列{c_n}成等差数列；
②求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)若T_n（nb_n+n-2）≤kn对n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)①由，得，
，
即，
又，
所以，数列{c_n}是以2为首项，1为公差的等差数列。
②，
。
(Ⅱ)因为S_n=1-b_n，S₁=1-b₁=b₁，
所以b₁=，S_n-1=1-b_n-1(n≥2)，S_n-S_n-1=b_n-1-b_n，2b_n=b_n-1(n≥2)，
所以数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，
所以。
因为对n∈N*恒成立，
所以对n∈N*恒成立，
即对n∈N*恒成立，
设，
则，
因为，
所以f（n）＞f（n+1），
所以，当n∈N*时，f（n）单调递减，
设，则，
，
所以，当1≤n＜4时，g(n)单调递增；g(4)=g(5)；当n≥5时，g(n)单调递减；
设L(n)=f(n)+g(n)，则 L(1)＜L(2)＜L(3)，L(3)＞L(4)＞L(5)＞L(6)＞……，
所以L(3)最大，且，
所以，实数k的取值范围为。