Question

已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.

       （Ⅰ）求的通项公式；

       （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：

              .

Answer 1

（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因此.

              又由，得

              ，即或.

              因，故不成立，舍去.

              因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为

              .

       （Ⅱ）证法一：由可解得

              从而.

              因此.

              令，则

              .

              因，故.

              特别地，从而，

              即.

       证法二：同证法一求得及.

              由二项式定理知，当时，不等式成立.

              由此不等式有      

     证法三：同证法一求得及.

              令.

              因，因此.

              从而                                                                                                                           

       证法四：同证法一求得及.

              下面用数学归纳法证明：.

              当时，，因此，结论成立.

              假设结论当时成立，即，则当时，

             

              .

              因，故.

              从而.这就是说当时结论也成立.

              综上对任何成立.