Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+

1

n

）²an，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=

an

n

，求

n

i=1

bi；
（3）设c_n=

n

an

，求证

n

i=1

Ci＜

17

24

．

Answer 1

（1）由已知得，

an+1

(n+1)2

=  2•

an

n2

，
∴{

an

n2

}是公比为2的等比数列，首项a₁=2，
∴

an

n2

=2ⁿ，
∴a_n=n²2ⁿ；
（2）b_n=

an

n

=n2ⁿ，

n

i=1

bi=1•2+2•2²+3•2³+…+n2ⁿ，
2

n

i=1

bi=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹，
∴-

n

i=1

bi=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹
∴

n

i=1

bi=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；

（3）c_n=

n

an

=

1

n2n

，
当n≥2时，

1

n2n

=

n-1

n(n-1)2n

＜ 

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

- 

1

n2n

∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=

1

2

+

1

8

+

1

24

+…+

1

n2n

＜

1

2

+

1

8

+

1

24

+

1

3•23

-

1

4•24

…+

1

(n-1)2n-1

-

1

n2n

＜

17

24

．