Question

已知函数f(x)=loga(x+1)，g(x)=loga(1-x)（其中a＞1）
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意得：x+1＞0，1-x＞0，可求函数的定义域
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=lo

g

(x+1) a

-lo

g

(1-x) a

=lo

g

x+1 1-x a

（-1＜x＜1），只要检验F（-x）与F（x）的关系即可判断

解答：解：（1）由题意得：x+1＞0，1-x＞0．（2分）
解得：-1＜x＜1     …．（3分）
∴所求函数的定义域为{x|-1＜x＜1}    …（4分）
（2）是奇函数…（5分）（或者在题的最后写这个结论也给分）
证明：x+1＞01-x＞0解得：-1＜x＜1              …．（7分）
令F(x)=f(x)-g(x)=lo

g

(x+1) a

-lo

g

(1-x) a

=lo

g

x+1 1-x a

  （-1＜x＜1）
F(-x)=f(-x)-g(-x)=lo

g

(1-x) a

-lo

g

(1+x) a

=lo

g

1-x 1+x a

=log(

x+1

1-x

)-1=-lo

g

x+1 1-x a

=-F(x)        …（9分）
∴该函数为奇函数．        …（10分）

点评：本题主要考查了对数函数的定义域的求解，函数的奇偶性的判断，解题的关键是熟练掌握基本概念与基本方法