Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N^*，有n，a_n，S_n成等差数列．
（Ⅰ）记数列b_n=a_n+1（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为T_n，求满足

1

17

＜

Tn+n+2

T2n+2n+2

＜

1

7

的所有n的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：S_n=2a_n-n，S_n+1=2a_n+1-（n+1）?a_n+1=2a_n+1-2a_n-1?a_n+1=2a_n+1，

bn+1

bn

=

an+1+1

an+1

=

2an+2

an+1

=2；
又由S₁=a₁=2a₁-1?a₁=1
所以数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）b_n=a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1，
可以得出T_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
从而

1

17

＜

Tn+n+2

T2n+2n+2

=(

1

2

)n＜

1

7

所以n的值为3，4．