Question

已知由正数组成的数列{a_n}，它的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足：a_n+1=qa_n（q≠0），试判断数列{S_n}是等比数列还是等差数列？并说明理由．
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：a1=

1

2

，且S_n与

1

an

的等比中项为n（n∈N^*），求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（I）由已知

an+1

an

=q≠0可 得{a_n}为等比数列，
若S_n是等比数列，则S₂²=S₁S₃，若S_n是等差数列，则2S₂=S₁+S₃通过解方程可求 q，从而进行判断
（II）由已知得n2=Sn•

1

an

从而可得S_n=n²a_n3，S_n-1=（n-1）²a_n-1
两式相减整理可得，

an

an-1

=

n-1

n+1

，得an=

1

n(n+1)

，利用裂项求和，再进行求解极限即可．

解答：解：（I）由

an+1

an

=q≠0 得{a_n}为等比数列，假设S_n是等比数列，则S₂²=S₁S₃，整理得q=0与q≠0矛盾，
所以S_n不是等比数列；
假设S_n是等差数列，则2S₂=S₁+S₃整理得q=1或q=0（舍）所以q=1时，S_n是等差数列，q≠1，S_n不是等差数列；
（II）由条件得n2=Sn•

1

an

，即S_n=n²a_n3，S_n-1=（n-1）²a_n-1，
相减得a_n（n²-1）=（n-1）²a_n-1（n≥2），

an

an-1

=

n-1

n+1

得an=

1

n(n+1)

，
所以S_n=n²a_n=

n2

n2+n

得

lim

n→∞

Sn=1．

点评：本题主要考查了等差、等比数列的应用，裂项求和及数列的极限的求解，属于基础知识的综合运用．