题目内容

如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又∠PAD为45°

(1)求证：AF∥平面PEC

(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．

答案：
解析：

　　证明(1)取PC中点G，连接EG，FG，

　　F为PD的中点，GFCD．

　　CDAB，又E为AB中点，

　　AEGF．

　　四边形AEGF为平行四边形．

　　AF∥GE，且AF平面PEC，GE平面PEC，

　　因此AF∥平面PEC．

　　(2)PA⊥平面ABCD，则AD是PD在底面的射影．又ABCD为矩形，

　　CD⊥AD，则CD⊥PD．因此CD⊥AF，又因为．

　　F为Rt△PAD斜边PD的中点，

　　AF⊥PD，PD∩CD＝D，AF⊥平面PCD，由(1)知AF∥EG．

　　EG⊥平面PCD．EG平面PEC，

　　平面PEC⊥平面PCD


练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB．
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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
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，点F是PB中点．
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（Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
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，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB和PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱锥P-ABCD外接球的表面积．
精英家教网如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
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CD=2，PA=2，M，E，F分别是PA，PC，PD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）证明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直线ME与平面ABEF所成角的正弦值．

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