题目内容
已知f(x)=x2+ax+b,且p+q=1,试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对任意实数x、y恒成立的充要条件是0≤p≤1.
证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2. ①若0≤p≤1,q≥1-p∈［0,1］, ∴pq≥0. ∴pq(x-y)2≥0. ∴pf(x)+qf(y)≥f(px+qy). ②当pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)时,pq(x-y)2≥0. ∵(x-y)2≥0,∴pq≥0, 即p(1-p)≥0.∴0≤p≤1. ∴原命题成立.
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