题目内容

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时， $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明；
（3）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

解：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]
∵当x∈（0，1]时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（-x）= $\text{[math]}$
∵f（0）=0
∴函数f（x）在[-1，1]上的解析式为f（x）= $\text{[math]}$ ；
（2）f（x）在（0，1]上单调递减，证明如下：
∵当x∈（0，1]时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1]上单调递减；
（3）记g（x）=f（x）-x，则g（x）为（0，1]上的单调递减函数．
∴g（x）∈[g（1），g（0））?g（x）∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
∵g（x）在[-1，1]上为奇函数，∴当x∈[-1，0）时g（x）∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
又g（0）=0，
∴g（x）∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，即b∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，利用当x∈（0，1]时， $\text{[math]}$ ，函数为奇函数，可求函数的解析式；
（2）利用导数，判断导数小于0，即可求得函数的单调性；
（3）将b表示为x的函数，利用单调性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得实数b的取值范围
点评：本题考查单调性与奇偶性，考查函数的解析式，考查单调性的证明，考查函数的值域，属于中档题．