Question

已知函数f(x)=(x2-x-

1

a

)eax（a＞0）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式f(x)+

5

a

≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）确定函数的最小值，再解不等式，即可得到a的取值范围．

解答：解：对函数f（x）求导得：f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1）…（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=e（x+2）（x-1）
令f'（x）＞0，解得 x＞1或x＜-2；
令f'（x）＜0，解得-2＜x＜1
所以，f（x）单调增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），f（x）单调减区间为 （-2，1）．…（5分）
（Ⅱ） 令f'（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，解得x=-

2

a

或x=1（16分）
当a＞0时，列表得：

x	(-∞，- 2 a )	- 2 a	(- 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…（8分）
对于x＜-

2

a

时，因为x2＞0，-x＞

2

a

，a＞0，所以x2-x-

1

a

＞0，∴f（x）＞0              …10 分
对于x≥-

2

a

时，由表可知函数在x=1时取得最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
所以，当x∈R时，f(x)min=f(1)=-

1

a

ea…（11分）
由题意，不等式f(x)+

5

a

≥0对x∈R恒成立，
所以得-

1

a

ea+

5

a

≥0，解得0＜a≤ln5…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定函数的最值．