题目内容

已知函数f（x）=cos2ωx+ $数学公式$ sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）若 $数学公式$ ，求θ的值；
（2）求函数f（x）的单调区间及其图象的对称轴方程．

解：（1）∵函数f（x）=cos2ωx+ $\text{[math]}$ sinωxcosωx= $\text{[math]}$ （1+cos2ωx）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）．
三角函数的周期性及其求法，因为f（x）最小正周期为π，所以 $\text{[math]}$ =1，解得ω=1，
由题意 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，故函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
同理，由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，故函数的减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
由 2x+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z 得 x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，k∈z．
所以，f（x）图象的对称轴方程为 x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，k∈z．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ +sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），由周期性求出ω=1，由 $\text{[math]}$ 求出θ的值．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得x的范围，即可得到函数的增区间，同理由由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，符合三角函数的单调性、对称性，属于中档题．