Question

设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x²－(2m＋1)x＋2m<0}.

(1)当m<时，化简集合B；

(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；

(3)若∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围.

Answer 1

【解析】∵不等式x²－(2m＋1)x＋2m<0⇔(x－1)(x－2m)<0.

(1)当m<时，2m<1，∴集合B＝{x|2m<x<1}.

(2)若A∪B＝A，则B⊆A，∵A＝{x|－1≤x≤2}，

①当m<时，B＝{x|2m<x<1}，此时－1≤2m<1⇒－≤m<；

②当m＝时，B＝，有B⊆A成立；

③当m>时，B＝{x|1<x<2m}，此时1<2m≤2⇒<m≤1；

综上所述，所求m的取值范围是－≤m≤1.

(3)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴_RA＝{x|x<－1或x>2}，

①当m<时，B＝{x|2m<x<1}，若_RA∩B中只有一个整数，则－3≤2m<－2⇒－≤m<－1；

②当m＝时，不符合题意；

③当m>时，B＝{x|1<x<2m}，若_RA∩B中只有一个整数，则3<2m≤4，∴<m≤2.

综上知，m的取值范围是－≤m<－1或<m≤2.