题目内容

 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点．

   （1）求椭圆的方程；

   （2）求m的取值范围；

   （3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（1）设椭圆方程为

    则                    2分

    ∴椭圆方程                   4分

   （2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m

又

∴l的方程为：

由                   6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

    ∴m的取值范围是

   （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可

    设

    可得

                       8分

    而

   

                       10分

    ∴k1＋k2=0

    故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．                   12分

 

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l1：x=m（|m|＞1），P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．
精英家教网如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
3
2
，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=
12
5
2
时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，
2
），且离心率为
3
2
．
（ I）求椭圆的标准方程；
（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ，试求实数λ的取值范围．
（2012•马鞍山二模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当MA⊥MB时，求m的值．

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