题目内容
已知定义在R上的单调函数f(x)，存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.(Ⅰ)求x0的值；
(Ⅱ )若f(x0)=1，且对任意正整数n，有an=
,bn=f
+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,
Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
Sn与Tn的大小关系，并给出证明；
(Ⅲ )若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围.
解:(Ⅰ)令x1=x2=0,得f(0)=f(x0)+2f(0).
∴f(x0)=-f(0). ①
令x1=1,x2=0,得f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0),
∴f(1)=-f(0). ②
由①,②得 f(x0)=f(1).
∵f(x)为单调函数，∴x0=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+f(1)
=f(x1)+f(x2)+1,
∵f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2,f(1)=1,∴f(n)=2n-1. (n∈Z*)
∴an=.
又∵f(1)=f(+)=f()+f(
)=f(1)∴f(
)=0,b1=f(
)+1.
又∵f(
)=f(
)=f(
)+f(
)=f(1)=2f(
)+1,
∴2bn+1=2f(
)+2=f(
)+1=bn.
∴bn=(
)n-1.
∴Sn=
=
=
.
Tn=(
)0(
)1+(
)1(
)2+…+(
)n-1(
)n
=
+(
)3+…+(
)2n+1
=
=
.
∴
Sn-Tn=
(1-
)-
∵4n=(3+1)n=
3n+
3n-1+…+
3+
≥3n+1＞2n+1,
∴
Sn-Tn=
(
)＜0.∴
Sn＜Tn.
(Ⅲ)令F(n)=an+1+an+2+…a2n,
则F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an-1
=
＞0.
∴当n≤2,n∈N时,
F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=a3+a4=
.
∴
＞
.
即
(x+1)-
(9x2-1)＜2.
.解得
.
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