Question

设．
（1）若向量与向量的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量为常数，且m＞0）的模的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可求，，，由夹角为锐角，代入=2t||＞0，解不等式可求t的范围，舍去=中t即可
（2）由==，结合y=，t∈（0，1]的单调性可求y的最小值
解答：解：（1）由题设易得，||=2，==1 
∴==2t||²+7t＞0
整理可得，2t²+15t+7＞0
∴ 或 t＜-7
又当与共线时，不满足题意．
令=
则∴
∴ 或 t＜-7，且t         （6分）
（2）∵=
=
令y= t∈（0，1]
∵y=≥8m+4m=12m
当且仅当
于是①当 即 0＜m≤4时
当且仅当时，y_min=12m．从而
②当 即m＞4时
可证 在（0，1]为减函数
从而当t=1时，y_min=m²+4m+16
∴                （6分）
点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的综合应用，注意：向量的夹角θ为锐角时，并不等价于，一定要把向量同向的情况去掉，及函数的单调性在求解函数最值中的应用．