Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（1）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据f′（x）=-9建立等量关系，再结合基本不等式求出最大值，注意不等式运用的条件；
（2）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．

解答：解：f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a，f′（x）=x²-（a+1）x+b
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．
（1）存在x＜0，使得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
-a-1=-x-

9

x

=（-x）+(-

9

x

)≥2

(-x)．(- 9 x )

=6，
∴a≤-7，
当且仅当x=-3时，a=-7．所以a的最大值为-7．
（2）当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

f（x）的极大值f（0）=a＞0，
f（x）的极小值f（a+1）=a-

1

6

（a+1）³

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及基本不等式的应用，属于基础题．