Question

已知点A（2，0），B、C在y轴上，且|BC|=4．
（1）求△ABC外心的轨迹S的方程；
（2）若P、Q为轨迹S上两点，求实数λ范围，使

PA

=λ

AQ

，且|PQ|＞3

5

.

Answer 1

分析：（1）先设外心坐标为G（x，y），根据|BC|=4可设B（0，a），C（0，a+4），然后根据外心是外接圆的圆心可以得到（x-2）²+y²=x²+（y-a）²，整理即可得到答案．
（2）先设点P，Q的坐标，然后表示出

PA

、

AQ

，根据

PA

=λ

AQ

可以得到关系式

2- 1 4 y 2 1 =λ( 1 4 y 2 2 -2) -y1=λy2

，再由点A在抛物线y²=4x内可以得到

y

2 1

=8λ，

y

2 2

=

8

λ

，然后用λ表示出y₁、y₂，最后表示出|PQ|整理即可求出λ的范围．

解答：解：（1）设△ABC外心为G，且G（x，y），B（0，a），C（0，a+4）
由G点在BC的垂直平分线上知y=a+2
由|GA|²=|GB|²，得（x-2）²+y²=x²+（y-a）²
故（x-2）²+y²=x²+2²
即点G的轨迹S为：y²=4x；
（2）设点P(

1

4

y

2 1

，y1)，Q(

1

4

y

2 2

，y2)
则

PA

=(2-

1

4

y

2 1

，-y1)，

AQ

=(

1

4

y

2 2

-2，y2)
∴

2- 1 4 y 2 1 =λ( 1 4 y 2 2 -2) -y1=λy2

因为点A在抛物线y²=4x内，所以λ＞0
∴

y

2 1

=8λ，

y

2 2

=

8

λ

，不妨取y1=2

2λ

，y2=

-2 2

λ

则|PQ|=

( 1 4 y 2 1 - 1 4 y 2 2 )2+(y1-y2)2

=

(2λ- 2 λ )2+(2 2λ + 2 2 λ )2

=

4(λ2+ 1 λ2 )+8(λ+ 1 λ )+8

=2

(λ+ 1 λ )2+2(λ+ 1 λ )

由|PQ|＞3

5

及λ＞0得λ+

1

λ

＞

5

2

，∴λ＞2，或0＜λ＜

1

2

故λ的取值范围是{λ|λ＞2，或0＜λ＜

1

2

}．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合题．圆锥曲线和直线的综合题一般作为高考的压轴题出现．